Упр.1097 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2AM2 — ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
а) Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(a;0),\; M(x;y).$$ Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(a-x)^2+y^2,\qquad AB^2=a^2.$$
По условию
$$2AM^2-BM^2=2AB^2.$$
Подставим выражения:
$$2(x^2+y^2)-\bigl((a-x)^2+y^2\bigr)=2a^2.$$
Раскроем скобки и упростим:
$$2x^2+2y^2-a^2+2ax-x^2-y^2=2a^2,$$
$$x^2+y^2+2ax=3a^2,$$
$$\left(x+a\right)^2+y^2=4a^2.$$
Это уравнение окружности с центром в точке $$(-a;0)$$ и радиусом $$2a$$.
Ответ для пункта а): множество всех точек $$M$$ — окружность с центром $$(-a;0)$$ и радиусом $$2a$$.
б) Аналогично,
$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(a-x)^2+y^2,\qquad AB^2=a^2.$$
По условию
$$2AM^2+2BM^2=6AB^2.$$
Подставим:
$$2(x^2+y^2)+2\bigl((a-x)^2+y^2\bigr)=6a^2.$$
Раскроем скобки:
$$2x^2+2y^2+2a^2-4ax+2x^2+2y^2=6a^2,$$
$$4x^2+4y^2-4ax=4a^2,$$
$$x^2+y^2-ax=a^2,$$
$$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{5a^2}{4}.$$
Это окружность с центром в точке $$\left(\frac{a}{2};0\right)$$ и радиусом $$\frac{\sqrt5}{2}a$$.
Ответ для пункта б): множество всех точек $$M$$ — окружность с центром $$\left(\frac{a}{2};0\right)$$ и радиусом $$\frac{\sqrt5}{2}a$$.
Отношение площадей правильных шестиугольников. Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$R$$ — радиус описанной окружности.
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу окружности, то есть $$a_1=R$$, а апофема равна $$r=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R$$. Тогда
$$R=\frac{2r}{\sqrt3}.$$
Площадь описанного шестиугольника:
$$S_{\text{оп}}=\frac12Pr=\frac12\cdot 6R\cdot r=3Rr=3\cdot \frac{2r}{\sqrt3}\cdot r=2\sqrt3\,r^2.$$
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, его сторона равна $$a_2=2r\tan 30^\circ=\frac{2r}{\sqrt3}$$, поэтому периметр
$$P=6\cdot \frac{2r}{\sqrt3}=\frac{12r}{\sqrt3}.$$
Тогда площадь вписанного шестиугольника:
$$S_{\text{вп}}=\frac12Pr=\frac12\cdot \frac{12r}{\sqrt3}\cdot r=2\sqrt3\,r^2.$$
Следовательно, отношение площадей равно
$$S_{\text{вп}}:S_{\text{оп}}=4:3.$$
Ответ
а) $$\left(x+a\right)^2+y^2=4a^2$$, окружность с центром $$(-a;0)$$ и радиусом $$2a$$;
б) $$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{5a^2}{4}$$, окружность с центром $$\left(\frac{a}{2};0\right)$$ и радиусом $$\frac{\sqrt5}{2}a$$;
$$S_{\text{вп}}:S_{\text{оп}}=4:3.$$
