Упр.1097 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:
   а) $$2AM^2-BM^2=2AB^2$$;
   б) $$2AM^2+2BM^2=6AB^2$$.
2. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Пусть $$r$$ — радиус данной окружности.

Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус вписанной окружности равен $$r$$. Тогда сторона шестиугольника

$$a_1=2r\tan 30^\circ=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$$

Его периметр:

$$P_1=6a_1=6\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{12r}{\sqrt{3}}.$$

Площадь:

$$S_1=\frac{1}{2}P_1r=\frac{1}{2}\cdot \frac{12r}{\sqrt{3}}\cdot r=2\sqrt{3}\,r^2.$$

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности:

$$a_2=r.$$

Тогда его периметр:

$$P_2=6r.$$

Площадь:

$$S_2=\frac{1}{2}P_2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{1}{2}\cdot 6r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2.$$

Найдём отношение площадей:

$$S_1:S_2=2\sqrt{3}r^2:\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2=4:3.$$

Ответ

$$4:3$$