Упр.1095 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина $$\left(AM^2+CM^2\right)-\left(BM^2+DM^2\right)$$ имеет одно и то же значение.
2. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(b;c),\; C(a+b;c),\; D(a;0),\; M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2,$$

$$BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2,$$

$$DM^2=(a-x)^2+y^2.$$

Рассмотрим разность:

$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &=x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2 \\ &\quad -(b-x)^2-(c-y)^2-(a-x)^2-y^2. \end{aligned}$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &=x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2 \\ &=x^2+\bigl(a^2+b^2+x^2+2ab-2ax-2bx\bigr) \\ &\quad -\bigl(b^2-2bx+x^2\bigr)-\bigl(a^2-2ax+x^2\bigr) \\ &=2ab. \end{aligned}$$

Полученное выражение не зависит от точки $$M$$, значит, для всех точек $$M$$ величина $$\bigl(AM^2+CM^2\bigr)-\bigl(BM^2+DM^2\bigr)$$ имеет одно и то же значение.

Ответ: $$2ab$$.