Упр.1094 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
2. Найдите площадь $$S$$ правильного $$n$$-угольника, если: а) $$n=4,\ R=3\sqrt{2}\text{ см}$$; б) $$n=3,\ P=24\text{ см}$$; в) $$n=6,\ r=9\text{ см}$$; г) $$n=8,\ r=5\sqrt{3}\text{ см}$$.

а) Для квадрата $$n=4$$, поэтому его сторона

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда периметр

$$P=4a=24\text{ см}.$$

Апофема правильного четырёхугольника равна радиусу вписанной окружности:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=3\sqrt2\cdot \cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) Для правильного треугольника $$n=3$$, значит

$$P=3a \Rightarrow a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности так:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$

Отсюда

$$R=\frac{8}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Тогда

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{3}=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \cos60^\circ=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{4}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot \frac{4}{\sqrt3}=\frac{48}{\sqrt3}=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) Для правильного шестиугольника $$n=6$$ и $$r=9\text{ см}.$$

Используем формулу

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ,$$

откуда

$$9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}, \qquad R=\frac{18}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2\cdot \frac{18}{\sqrt3}\cdot \sin30^\circ=\frac{18}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Периметр:

$$P=6a=6\cdot \frac{18}{\sqrt3}=36\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) Для правильного восьмиугольника $$n=8$$ и $$r=5\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{8}=R\cos22^\circ30′,$$

следовательно,

$$R=\frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}.$$

Сторона:

$$a=2R\sin22^\circ30’=2\cdot \frac{5\sqrt3}{\cos22^\circ30′}\cdot \sin22^\circ30’=10\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Периметр:

$$P=8a=80\sqrt3\tan22^\circ30′.$$

Площадь правильного многоугольника:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 80\sqrt3\tan22^\circ30’\cdot 5\sqrt3=600\tan22^\circ30′.$$

Так как $$\tan22^\circ30’\approx 0{,}4142,$$ получаем

$$S\approx 600\cdot 0{,}4142=248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt3\text{ см}^2$$; г) $$248{,}52\text{ см}^2$$.