Упр.1090 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-7; 5); В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Пусть уравнение прямой имеет вид $$ax+by+c=0.$$

а) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

1) Для стороны $$AB$$: $$A(-7;5),\ B(3;-1).$$

Составим уравнение прямой $$AB$$:

$$\frac{y-5}{x+7}=\frac{-1-5}{3-(-7)}=\frac{-6}{10}=-\frac35,$$

откуда

$$3x+5y-4=0.$$

Серединный перпендикуляр к $$AB$$ перпендикулярен этой прямой и проходит через середину отрезка $$AB$$:

$$M\left(\frac{-7+3}{2};\frac{5+(-1)}{2}\right)=(-2;2).$$

Ищем уравнение прямой, перпендикулярной $$3x+5y-4=0$$. Её угловой коэффициент равен $$\frac53$$, значит для перпендикуляра он равен $$-\frac35$$. Тогда

$$y-2=-\frac35(x+2),$$

$$3x+5y-4=0 \ \Rightarrow\ \text{перпендикуляр: } 5x-3y+16=0.$$

2) Для стороны $$BC$$: $$B(3;-1),\ C(5;3).$$

Уравнение прямой $$BC$$:

$$\frac{y+1}{x-3}=\frac{3-(-1)}{5-3}=2,$$

откуда

$$2x-y-7=0.$$

Середина отрезка $$BC$$:

$$N\left(\frac{3+5}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(4;1).$$

Перпендикуляр к $$BC$$ имеет угловой коэффициент $$-\frac12$$, поэтому

$$y-1=-\frac12(x-4),$$

то есть

$$x+2y-6=0.$$

3) Для стороны $$CA$$: $$C(5;3),\ A(-7;5).$$

Уравнение прямой $$CA$$:

$$\frac{y-5}{x+7}=\frac{3-5}{5-(-7)}=-\frac{2}{12}=-\frac16,$$

откуда

$$x+6y-23=0.$$

Середина отрезка $$CA$$:

$$K\left(\frac{-7+5}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(-1;4).$$

Перпендикуляр к $$CA$$ имеет угловой коэффициент $$6$$, значит

$$y-4=6(x+1),$$

то есть

$$6x-y+10=0.$$

б) Прямые, на которых лежат средние линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне, поэтому её прямая имеет тот же угловой коэффициент, что и сторона, и проходит через середины двух других сторон.

1) Средняя линия, параллельная $$AB$$, проходит через $$N(4;1)$$ и $$K(-1;4)$$:

$$k=\frac{4-1}{-1-4}=-\frac35,$$

$$y-1=-\frac35(x-4),$$

$$3x+5y-17=0.$$

2) Средняя линия, параллельная $$BC$$, проходит через $$M(-2;2)$$ и $$K(-1;4)$$:

$$k=\frac{4-2}{-1-(-2)}=2,$$

$$y-2=2(x+2),$$

$$2x-y+6=0.$$

3) Средняя линия, параллельная $$CA$$, проходит через $$M(-2;2)$$ и $$N(4;1)$$:

$$k=\frac{1-2}{4-(-2)}=-\frac16,$$

$$y-2=-\frac16(x+2),$$

$$x+6y-10=0.$$

в) Минимальный диаметр круглого стержня

Сечение вентиля — правильный треугольник со стороной $$a=3$$ см. Минимальный диаметр стержня равен диаметру описанной окружности около этого треугольника:

$$d=2R,$$

где для правильного треугольника

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$d=2\sqrt3\text{ см}.$$

Ответ

а) $$5x-3y+16=0,$$ $$x+2y-6=0,$$ $$6x-y+10=0.$$

б) $$3x+5y-17=0,$$ $$2x-y+6=0,$$ $$x+6y-10=0.$$

в) $$d=2\sqrt3\text{ см}.$$