Упр.1089 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) $$A(1;-4),\ B(4;5),\ C(3;-2)$$; б) $$A(3;-7),\ B(8;-2),\ C(6;2)$$.
- Задание учебника 2023 года. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $$18\ \text{см}$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
а) Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$, а радиус равен $$R$$. Тогда для точек $$A(1;-4)$$, $$B(4;5)$$ и $$C(3;-2)$$ получаем:
$$AO^2=(1-x)^2+(-4-y)^2,$$
$$BO^2=(4-x)^2+(5-y)^2,$$
$$CO^2=(3-x)^2+(-2-y)^2.$$
Так как все три точки лежат на одной окружности, то $$AO^2=BO^2$$ и $$BO^2=CO^2$$.
$$(1-x)^2+(-4-y)^2=(4-x)^2+(5-y)^2$$
$$1-2x+x^2+16+8y+y^2=16-8x+x^2+25-10y+y^2$$
$$6x+18y-24=0$$
$$x+3y-4=0$$
$$(4-x)^2+(5-y)^2=(3-x)^2+(-2-y)^2$$
$$16-8x+x^2+25-10y+y^2=9-6x+x^2+4+4y+y^2$$
$$-2x-14y+28=0$$
$$x+7y-14=0$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x+3y-4=0,\\ x+7y-14=0. \end{cases}$$
$$4y=10,\quad y=\frac{5}{2}$$
$$x=4-3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$
Значит, центр окружности $$O\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right)$$.
Найдём радиус:
$$R^2=\left(4+\frac{7}{2}\right)^2+\left(5-\frac{5}{2}\right)^2 =\left(\frac{15}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2 =\frac{225}{4}+\frac{25}{4} =\frac{250}{4} =\frac{125}{2}$$
Тогда уравнение окружности:
$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}.$$
б) Пусть центр окружности снова обозначен через $$O(x;y)$$. Для точек $$A(3;-7)$$, $$B(8;-2)$$, $$C(6;2)$$ имеем:
$$AO^2=(3-x)^2+(-7-y)^2,$$
$$BO^2=(8-x)^2+(-2-y)^2,$$
$$CO^2=(6-x)^2+(2-y)^2.$$
Из равенств $$AO^2=BO^2$$ и $$BO^2=CO^2$$ получаем:
$$(3-x)^2+(-7-y)^2=(8-x)^2+(-2-y)^2$$
$$10x+10y-10=0$$
$$x+y-1=0$$
$$(8-x)^2+(-2-y)^2=(6-x)^2+(2-y)^2$$
$$2x-8y+14=0$$
$$x-4y+7=0$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x+y-1=0,\\ x-4y+7=0. \end{cases}$$
$$5y=6,\quad y=\frac{6}{5}$$
$$x=1-\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}$$
Тогда центр окружности $$O\left(-\frac{1}{5};\frac{6}{5}\right)$$.
Найдём радиус:
$$R^2=\left(3+\frac{1}{5}\right)^2+\left(-7-\frac{6}{5}\right)^2 =\left(\frac{16}{5}\right)^2+\left(\frac{41}{5}\right)^2 =\frac{256+1681}{25} =\frac{1937}{25}$$
Уравнение окружности:
$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^2+\left(y-\frac{6}{5}\right)^2=\frac{1937}{25}.$$
Ответ: а) $$\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}$$; б) $$\left(x+\frac{1}{5}\right)^2+\left(y-\frac{6}{5}\right)^2=\frac{1937}{25}$$.
