Упр.1087 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:
   а) $$(x-1)^2+(y+2)^2=25$$;
   б) $$x^2+(y+7)^2=1$$;
   в) $$x^2+y^2+8x-4y+40=0$$;
   г) $$x^2+y^2-2x+4y-20=0$$;
   д) $$x^2+y^2-4x-2y+1=0$$.
2. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки.

Приведём уравнения к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2.$$ Тогда можно сразу определить центр и радиус окружности.

1. $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$

   Это окружность с центром $$C(1;\,-2)$$ и радиусом $$R=5.$$

2. $$x^2+\left(y+7\right)^2=1.$$

   Это окружность с центром $$C(0;\,-7)$$ и радиусом $$R=1.$$

3. $$x^2+y^2+8x-4y+40=0.$$

   Сгруппируем и дополним до квадратов:

   $$x^2+8x+y^2-4y+40=0$$
   $$\left(x+4\right)^2-16+\left(y-2\right)^2-4+40=0$$
   $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=-20.$$

   Правая часть отрицательна, значит, это не уравнение окружности.

4. $$x^2+y^2-2x+4y-20=0.$$

   $$x^2-2x+y^2+4y-20=0$$
   $$\left(x-1\right)^2-1+\left(y+2\right)^2-4-20=0$$
   $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$

   Это окружность с центром $$C(1;\,-2)$$ и радиусом $$R=5.$$

5. $$x^2+y^2-4x-2y+1=0.$$

   $$x^2-4x+y^2-2y+1=0$$
   $$\left(x-2\right)^2-4+\left(y-1\right)^2-1+1=0$$
   $$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4.$$

   Это окружность с центром $$C(2;\,1)$$ и радиусом $$R=2.$$

Ответ: а), б), г), д) — уравнения окружностей; в) — не является уравнением окружности. Центры и радиусы: а) $$C(1;\,-2),\ R=5$$; б) $$C(0;\,-7),\ R=1$$; г) $$C(1;\,-2),\ R=5$$; д) $$C(2;\,1),\ R=2$$.