Упр.1087 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (x — 1)2 + (y + 2)2 = 25; б) х2 + (у + 7)2 = 1; в) х2 + у2 + 8х — 4у + 40 = 0; г) х2 + у2 — 2х + 4у — 20 = 0; д) х2 + у2-4х-2у + 1 =0. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки

Уравнение окружности имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2,$$ где центр окружности $$\left(a;b\right)$$, а радиус $$R$$.

Приведём данные уравнения к этому виду.

а) $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$
Это уравнение окружности, так как правая часть положительна. Центр $$\left(1;-2\right)$$, радиус $$R=\sqrt{25}=5.$$

б) $$x^2+\left(y+7\right)^2=1.$$
Это уравнение окружности. Центр $$\left(0;-7\right)$$, радиус $$R=\sqrt{1}=1.$$

в) $$x^2+y^2+8x-4y+40=0.$$
Сгруппируем и дополним до квадратов:

$$x^2+8x+y^2-4y+40=0$$
$$\left(x+4\right)^2-16+\left(y-2\right)^2-4+40=0$$
$$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=-20.$$

Правая часть отрицательна, значит, это не уравнение окружности.

г) $$x^2+y^2-2x+4y-20=0.$$
Приведём к каноническому виду:

$$x^2-2x+y^2+4y-20=0$$
$$\left(x-1\right)^2-1+\left(y+2\right)^2-4-20=0$$
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$

Это окружность с центром $$\left(1;-2\right)$$ и радиусом $$R=5.$$

д) $$x^2+y^2-4x-2y+1=0.$$
Приведём к каноническому виду:

$$x^2-4x+y^2-2y+1=0$$
$$\left(x-2\right)^2-4+\left(y-1\right)^2-1+1=0$$
$$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4.$$

Это окружность с центром $$\left(2;1\right)$$ и радиусом $$R=2.$$

Ответ

Уравнениями окружности являются а), б), г), д).

а) центр $$\left(1;-2\right)$$, радиус $$5$$;
б) центр $$\left(0;-7\right)$$, радиус $$1$$;
в) не является уравнением окружности;
г) центр $$\left(1;-2\right)$$, радиус $$5$$;
д) центр $$\left(2;1\right)$$, радиус $$2$$.