Упр.1086 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: $$(-4; 4)$$, $$(-5; 1)$$ и $$(-1; 5)$$. Сколько решений имеет задача?
- Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
Пусть координаты неизвестной вершины параллелограмма равны $$C(x;y).$$
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то
$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$
Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},$$
$$AD=\sqrt{(-4+1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}.$$
Тогда
$$CD=\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2},\qquad BC=\sqrt{(x+5)^2+(y-1)^2}.$$
Из равенств $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$ получаем систему:
$$\begin{cases} (x+1)^2+(y-5)^2=10,\\ (x+5)^2+(y-1)^2=10. \end{cases}$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$(x+5)^2+(y-1)^2-(x+1)^2-(y-5)^2=0,$$
$$8x-8y+24=0,$$
$$x-y+3=0,$$
$$x=y-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(y-3+1)^2+(y-5)^2=10,$$
$$(y-2)^2+(y-5)^2=10,$$
$$y^2-4y+4+y^2-10y+25=10,$$
$$2y^2-14y+19=10,$$
$$2y^2-14y+9=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=(-14)^2-4\cdot 2\cdot 9=196-72=124.$$
$$y=\frac{14\pm\sqrt{124}}{4}=\frac{7\pm\sqrt{31}}{2}.$$
Тогда
$$x=y-3=\frac{1\pm\sqrt{31}}{2}.$$
Получаем две возможные точки:
$$C_1\left(\frac{1+\sqrt{31}}{2};\frac{7+\sqrt{31}}{2}\right),\qquad C_2\left(\frac{1-\sqrt{31}}{2};\frac{7-\sqrt{31}}{2}\right).$$
Значит, задача имеет 2 решения.
Ответ
$$C_1\left(\frac{1+\sqrt{31}}{2};\frac{7+\sqrt{31}}{2}\right),\quad C_2\left(\frac{1-\sqrt{31}}{2};\frac{7-\sqrt{31}}{2}\right);$$
решений: $$2$$.
