Упр.1085 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$, вершины которого имеют координаты $$A(-2;-3),\ B(1;4),\ C(8;7),\ D(5;0)$$, является ромбом. Найдите его площадь.
2. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$$
$$BC=\sqrt{(1-8)^2+(4-7)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$$
$$CD=\sqrt{(8-5)^2+(7-0)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$$
$$AD=\sqrt{(-2-5)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$$

Получили, что $$AB=BC=CD=AD$$. Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём его площадь через диагонали:

$$S_{ABCD}=\frac12 \cdot AC \cdot BD$$
$$BD=\sqrt{(1-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt2$$
$$AC=\sqrt{(-2-8)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt2$$
$$S_{ABCD}=\frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 10\sqrt2=\frac12 \cdot 80=40$$

Ответ: $$S_{ABCD}=40$$ кв. ед.