Упр.1085 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2;-3), В(1;4), С (8; 7), D(5;0), является ромбом. Найдите его площадь. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$ AB=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58} $$
$$ BC=\sqrt{(1-8)^2+(4-7)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58} $$
$$ CD=\sqrt{(8-5)^2+(7-0)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58} $$
$$ AD=\sqrt{(-2-5)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58} $$

Получили, что $$AB=BC=CD=AD$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём его площадь. Для ромба удобно использовать формулу через диагонали:

$$ S=\frac{1}{2}d_1d_2 $$

Вычислим диагонали:

$$ BD=\sqrt{(1-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $$
$$ AC=\sqrt{(-2-8)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} $$

Тогда

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2} =\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 2 =40 $$

Докажем утверждение о серединных перпендикулярах к сторонам правильного многоугольника.

Правильный многоугольник можно вписать в окружность. Тогда каждая его сторона является хордой этой окружности, а серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Значит, серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника проходят через один и тот же центр окружности. Поэтому они либо пересекаются в одной точке, либо, если совпадают, лежат на одной прямой.

Ответ

$$ABCD$$ — ромб, $$S_{ABCD}=40$$ кв. ед.; серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.