Упр.1084 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$, вершины которого имеют координаты $$A(3; 2)$$, $$B(0; 5)$$, $$C(-3; 2)$$, $$D(0; -1)$$, является квадратом.
2. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) $$60^\circ$$; б) $$30^\circ$$; в) $$90^\circ$$; г) $$36^\circ$$; д) $$18^\circ$$; е) $$72^\circ$$?

Сторона правильного вписанного многоугольника стягивает равную дугу. Все такие дуги вместе составляют $$360^\circ$$, значит, если дуга, соответствующая одной стороне, равна $$\alpha$$, то число сторон

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}.$$

Тогда:

1. при $$\alpha=60^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$$;
2. при $$\alpha=30^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$$;
3. при $$\alpha=90^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4$$;
4. при $$\alpha=36^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10$$;
5. при $$\alpha=18^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{18^\circ}=20$$;
6. при $$\alpha=72^\circ$$: $$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5$$.

Ответ: а) $$6$$; б) $$12$$; в) $$4$$; г) $$10$$; д) $$20$$; е) $$5$$.