Упр.1084 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(0+3)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$CD=\sqrt{(-3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$AD=\sqrt{(3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$AB=BC=CD=DA,$$ значит, $ABCD$ — ромб.

Проверим диагонали:

$$AC=\sqrt{(3+3)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6,$$
$$BD=\sqrt{(0-0)^2+(5+1)^2}=\sqrt{36}=6.$$

Кроме того, диагонали равны: $$AC=BD.$$

Ромб с равными диагоналями является квадратом. Значит, $$ABCD$$ — квадрат.

Для правильного вписанного многоугольника сторона стягивает равную дугу. Если дуга равна $$\alpha^\circ,$$ то число сторон равно

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha^\circ}.$$

Тогда:

а) $$n=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6;$$
б) $$n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12;$$
в) $$n=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4;$$
г) $$n=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10;$$
д) $$n=\frac{360^\circ}{18^\circ}=20;$$
е) $$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5.$$