Упр.1079 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB=\sqrt{(4-12)^2+(8-11)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}$$
$$BC=\sqrt{(12-7)^2+(11-0)^2}=\sqrt{25+121}=\sqrt{146}$$
$$AC=\sqrt{(4-7)^2+(8-0)^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}$$

Получаем, что $$AB=AC=\sqrt{73}$$, а $$BC=\sqrt{146}$$. Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный. При этом все три стороны не равны, следовательно, он не равносторонний.

Проверим утверждения.

а) Неверно. У многоугольника с равными сторонами углы могут быть не равны, например у ромба.

б) Верно. Если в треугольнике все углы равны, то каждый из них равен $$60^\circ$$, значит, треугольник равносторонний, а значит, правильный.

в) Верно. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, поэтому он правильный.

г) Неверно. У четырёхугольника с равными сторонами углы могут быть не равны, например у ромба.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный, но не равносторонний; верны утверждения б и в.