Упр.1077 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вектора р и его длину, если: а) р = 7а- 3b, а {1; -1}, b {5; -2}; б) р = 4а — 2b, а {6; 3}, b {5; 4}; в) р = 5а — 4b, а {3/5;1/5}, b {6; -1}; г) р = 3 (-2а — 4b), а {1; 5}, b {-1; -1}. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

а) $$\vec p=7\vec a-3\vec b,$$ где $$\vec a=(1;\,-1),\quad \vec b=(5;\,-2).$$

Тогда

$$\vec p=7(1;\,-1)-3(5;\,-2)=(7;\,-7)-(15;\,-6)=(-8;\,-1).$$

Длина вектора:

$$|\vec p|=\sqrt{(-8)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}.$$

б) $$\vec p=4\vec a-2\vec b,$$ где $$\vec a=(6;\,3),\quad \vec b=(5;\,4).$$

Тогда

$$\vec p=4(6;\,3)-2(5;\,4)=(24;\,12)-(10;\,8)=(14;\,4).$$

Длина вектора:

$$|\vec p|=\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}.$$

в) $$\vec p=5\vec a-4\vec b,$$ где $$\vec a=\left(\frac35;\,\frac15\right),\quad \vec b=(6;\,-1).$$

Тогда

$$\vec p=5\left(\frac35;\,\frac15\right)-4(6;\,-1)=(3;\,1)-(24;\,-4)=(-21;\,5).$$

Длина вектора:

$$|\vec p|=\sqrt{(-21)^2+5^2}=\sqrt{441+25}=\sqrt{466}.$$

г) $$\vec p=3(-2\vec a-4\vec b),$$ где $$\vec a=(1;\,5),\quad \vec b=(-1;\,-1).$$

Сначала найдём вектор в скобках:

$$-2\vec a-4\vec b=-2(1;\,5)-4(-1;\,-1)=(-2;\,-10)+(4;\,4)=(2;\,-6).$$

Тогда

$$\vec p=3(2;\,-6)=(6;\,-18).$$

Длина вектора:

$$|\vec p|=\sqrt{6^2+(-18)^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}.$$

Докажем, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их описанных и вписанных окружностей.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,$$ а коэффициент подобия равен $$k.$$ Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k.$$

а) Для описанных окружностей.

Обозначим радиусы описанных окружностей через $$R$$ и $$R_1.$$ Для треугольника справедлива формула

$$a=2R\sin A,$$

где $$a$$ — сторона, лежащая против угла $$A.$$ Аналогично для второго треугольника:

$$a_1=2R_1\sin A_1.$$

Так как треугольники подобны, то $$\angle A=\angle A_1,$$ значит, $$\sin A=\sin A_1.$$ Тогда

$$\frac{a}{a_1}=\frac{2R\sin A}{2R_1\sin A_1}=\frac{R}{R_1}.$$

Но по определению коэффициента подобия $$\frac{a}{a_1}=k.$$ Следовательно,

$$k=\frac{R}{R_1}.$$

б) Для вписанных окружностей.

Пусть радиусы вписанных окружностей равны $$r$$ и $$r_1.$$ Площадь треугольника выражается формулой

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр. Для подобных треугольников площади относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S}{S_1}=k^2,$$

а периметры, значит и полупериметры, относятся как $$k$$:

$$\frac{p}{p_1}=k.$$

Тогда

$$\frac{S}{S_1}=\frac{pr}{p_1r_1}=\frac{p}{p_1}\cdot\frac{r}{r_1}=k\cdot\frac{r}{r_1}.$$

С другой стороны, $$\frac{S}{S_1}=k^2,$$ значит

$$k^2=k\cdot\frac{r}{r_1}.$$

Отсюда

$$\frac{r}{r_1}=k.$$

Ответ

а) $$\vec p=(-8;\,-1),\quad |\vec p|=\sqrt{65}.$$

б) $$\vec p=(14;\,4),\quad |\vec p|=2\sqrt{53}.$$

в) $$\vec p=(-21;\,5),\quad |\vec p|=\sqrt{466}.$$

г) $$\vec p=(6;\,-18),\quad |\vec p|=6\sqrt{10}.$$

Коэффициент подобия равен отношению радиусов описанных окружностей и отношению радиусов вписанных окружностей:

$$k=\frac{R}{R_1},\qquad k=\frac{r}{r_1}.$$