Упр.1077 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты вектора $$\vec{p}$$ и его длину, если:
а) $$\vec{p}=7\vec{a}-3\vec{b},\quad \vec{a}=\{1;-1\},\quad \vec{b}=\{5;-2\};$$
б) $$\vec{p}=4\vec{a}-2\vec{b},\quad \vec{a}=\{6;3\},\quad \vec{b}=\{5;4\};$$
в) $$\vec{p}=5\vec{a}-4\vec{b},\quad \vec{a}=\left\{\frac{3}{5};\frac{1}{5}\right\},\quad \vec{b}=\{6;-1\};$$
г) $$\vec{p}=3(-2\vec{a}-4\vec{b}),\quad \vec{a}=\{1;5\},\quad \vec{b}=\{-1;-1\}.$$ - Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей:
а) описанных около треугольников;
б) вписанных в эти треугольники.
Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,$$ а коэффициент подобия равен $$k.$$ Обозначим стороны треугольников через $$AB=c,\ BC=a,\ CA=b,$$ $$A_1B_1=c_1,\ B_1C_1=a_1,\ C_1A_1=b_1.$$ Тогда
$$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k.$$
а) Для радиусов описанных окружностей
Для любого треугольника справедлива формула
$$c=2R\sin \angle C,\qquad c_1=2R_1\sin \angle C_1.$$
Так как треугольники подобны, то $$\angle C=\angle C_1,$$ значит, $$\sin \angle C=\sin \angle C_1.$$ Тогда
$$\frac{c}{c_1}=\frac{2R\sin \angle C}{2R_1\sin \angle C_1}=\frac{R}{R_1}.$$
Но $$\frac{c}{c_1}=k,$$ следовательно,
$$k=\frac{R}{R_1}.$$
б) Для радиусов вписанных окружностей
Площадь треугольника выражается формулой
$$S=\frac12 cr,\qquad S_1=\frac12 c_1r_1.$$
С другой стороны, для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S}{S_1}=k^2.$$
Подставим формулы площадей:
$$\frac{\frac12 cr}{\frac12 c_1r_1}=k^2.$$
Так как $$\frac{c}{c_1}=k,$$ получаем
$$k\cdot \frac{r}{r_1}=k^2,$$
откуда
$$\frac{r}{r_1}=k.$$
Итак, коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их описанных окружностей и отношению радиусов их вписанных окружностей.
