Упр.1076 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны. Найдите такое число $$x$$ (если это возможно), чтобы векторы $$p$$ и $$q$$ были коллинеарны: а) $$p=2a-b,\ q=a+xb$$; б) $$p=xa-b,\ q=a+xb$$; в) $$p=a+xb,\ q=a-2b$$; г) $$p=2a+b,\ q=xa+b$$.
2. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Тогда векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$ пропорциональны.

а) $$\vec p=2\vec a-\vec b,\qquad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Для коллинеарности должно выполняться

$$\frac{2}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Отсюда

$$2x=-1,\qquad x=-\frac12.$$

б) $$\vec p=x\vec a-\vec b,\qquad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Тогда

$$\frac{x}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Получаем

$$x^2=-1.$$

Действительных решений нет, значит, $$\vec p$$ и $$\vec q$$ не могут быть коллинеарны.

в) $$\vec p=\vec a+x\vec b,\qquad \vec q=\vec a-2\vec b.$$

Имеем

$$\frac{1}{1}=\frac{x}{-2}.$$

Следовательно,

$$x=-2.$$

г) $$\vec p=2\vec a+\vec b,\qquad \vec q=x\vec a+\vec b.$$

Для коллинеарности

$$\frac{2}{x}=\frac{1}{1}.$$

Отсюда

$$x=2.$$

Ответ: а) $$-\frac12$$; б) нет решений; в) $$-2$$; г) $$2$$.