Упр.1075 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$ лежат на осях координат, а их пересечение совпадает с началом координат. Тогда можно задать точки так:

$$A(-a;0),\quad C(a;0),\quad B(0;b),\quad D(0;-b),\quad M(x;y).$$

По условию

$$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2.$$

Вычислим квадраты расстояний:

$$AM^2=(x+a)^2+y^2,$$

$$DM^2=x^2+(b+y)^2,$$

$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$

$$CM^2=(a-x)^2+y^2.$$

Подставим в равенство:

$$(x+a)^2+y^2+x^2+(b+y)^2=x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+y^2$$

Раскроем скобки и сократим одинаковые слагаемые:

$$x^2+2ax+a^2+y^2+x^2+b^2+2by+y^2 = x^2+b^2-2by+y^2+a^2-2ax+x^2+y^2$$

$$2ax+2by=-2by-2ax$$

$$4ax=-4by$$

$$ax=-by$$

$$y=-\frac{a}{b}x.$$

Значит, множество всех точек $$M$$ — это прямая, проходящая через начало координат.

Найдём уравнение стороны $$AB$$. Так как $$A(-a;0)$$ и $$B(0;b)$$, её угловой коэффициент равен

$$k_{AB}=\frac{b-0}{0-(-a)}=\frac{b}{a}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{b}{a}x+b.$$

Для найденной прямой

$$k=-\frac{a}{b}.$$

Проверим перпендикулярность:

$$k\cdot k_{AB}=-\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=-1.$$

Значит, эта прямая перпендикулярна стороне ромба $$AB$$.

Ответ: множество точек $$M$$ — прямая $$y=-\frac{a}{b}x$$, проходящая через начало координат и перпендикулярная стороне ромба.