Упр.1074 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых (AM2 + DM2) — (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2. Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что (1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2, где b = AC, c = AB.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Введём координаты: $$A(0;0),\; B(0;b),\; D(a;0),\; C(a;b),\; M(x;y).$$ Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2,$$
$$AB^2=b^2.$$

Подставим в данное выражение:

$$ (AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)=2AB^2 $$
$$ \bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr)=2b^2. $$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$ 2y^2-2(b-y)^2=2b^2 $$
$$ y^2-(b^2-2by+y^2)=b^2 $$
$$ -\,b^2+2by=b^2 $$
$$ 2by=2b^2 $$
$$ y=b. $$

Значит, все точки $$M$$ удовлетворяют уравнению $$y=b$$, то есть лежат на прямой, проходящей через точку $$B$$ и параллельной оси $$Ox$$. В пределах прямоугольника это верхняя сторона $$BC$$.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $$M\in BC$$ и $$BM=k\cdot MC$$. Обозначим $$AC=b,\; AB=c$$. Тогда

$$\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MC}=k(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}),$$

откуда

$$ (1+k)\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $$

Так как $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$$, то

$$ (1+k)\overrightarrow{AM}=(1+k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}. $$

Но $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$, значит

$$ (1+k)\overrightarrow{AM}=(1+k)\overrightarrow{AB}+k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) =\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}. $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (1+k)^2AM^2=(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})^2 $$
$$ =AB^2+2k\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+k^2AC^2. $$

Так как $$AB=c,\; AC=b,\; \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cos A,$$ получаем

$$ (1+k)^2AM^2=c^2+2bck\cos A+k^2b^2. $$