Упр.1074 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольник \(ABCD\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых $$\left(AM^2+DM^2\right)-\left(BM^2+CM^2\right)=2AB^2$$.
2. Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) и $$BM=kMC$$. Докажите, что $$\left(1+k\right)^2AM^2=k^2b^2+2bck\cos A+c^2$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Введём координаты так, чтобы

$$A(0;0),\quad B(0;b),\quad D(a;0),\quad C(a;b),\quad M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2,$$
$$AB^2=b^2.$$

Подставим в данное выражение:

$$(AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)=2AB^2$$
$$\bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr)=2b^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2y^2-2(b-y)^2=2b^2$$
$$y^2-(b^2-2by+y^2)=b^2$$
$$2by-b^2=b^2$$
$$2by=2b^2.$$

Так как $$b\neq 0$$, получаем

$$y=b.$$

Значит, все точки $$M$$ лежат на прямой $$y=b$$, то есть на прямой, проходящей через точки $$B$$ и $$C$$ и параллельной стороне $$AD$$.

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — прямая $$BC$$.