Упр.1073 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$BM^2-AM^2=2AB^2$$.
2. Четырёхугольник $$ABCD$$ задан координатами своих вершин: $$A(-1; 2), B(1; -2), C(2; 0), D(1; 6)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция, и найдите её площадь.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(a;0),\; M(x;y).$$ Тогда

$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$AB^2=a^2.$$

По условию

$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$

Подставим выражения:

$$(a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2,$$

$$a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2,$$

$$a^2-2ax=2a^2,$$

$$-2ax=a^2,$$

$$x=-\frac a2.$$

Значит, все точки $$M$$ удовлетворяют уравнению $$x=-\frac a2$$, то есть лежат на прямой, перпендикулярной $$AB$$ и проходящей через середину отрезка $$AB$$.

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — это прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину отрезка $$AB$$.