Упр.1070 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, длина которого равна $$2$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых:
а) $$AM^2+BM^2+CM^2=50$$;
б) $$AM^2+2BM^2+3CM^2=4$$. - В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=16\text{ см}$$ и $$BC=8\text{ см}$$ боковая сторона равна $$4\sqrt{7}\text{ см}$$, а угол $$ADC=60^\circ$$. Через вершину $$C$$ проведена прямая $$l$$, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой $$l$$, заключённого внутри трапеции.
а) Введём систему координат так, чтобы $$B(0;0),\ A(-1;0),\ C(1;0).$$ Тогда для точки $$M(x;y)$$ имеем:
$$AM^2=(x+1)^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-1)^2+y^2.$$
По условию:
$$AM^2+BM^2+CM^2=50.$$
Подставим выражения:
$$(x+1)^2+y^2+x^2+y^2+(x-1)^2+y^2=50,$$
$$x^2+2x+1+y^2+x^2+y^2+x^2-2x+1+y^2=50,$$
$$3x^2+3y^2+2=50,$$
$$x^2+y^2=16.$$
Следовательно, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$B(0;0)$$ и радиусом $$4$$.
б) Снова возьмём координаты $$B(0;0),\ A(-1;0),\ C(1;0),\ M(x;y).$$ Тогда:
$$AM^2=(x+1)^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-1)^2+y^2.$$
По условию:
$$AM^2+2BM^2+3CM^2=4.$$
Подставим:
$$(x+1)^2+y^2+2(x^2+y^2)+3\bigl((x-1)^2+y^2\bigr)=4,$$
$$x^2+2x+1+y^2+2x^2+2y^2+3x^2-6x+3+3y^2=4,$$
$$6x^2-4x+6y^2+4=4,$$
$$6x^2-4x+6y^2=0,$$
$$3x^2-2x+3y^2=0.$$
Допишем до квадрата:
$$3\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3y^2=0,$$
$$3\left(\left(x-\frac13\right)^2-\frac19\right)+3y^2=0,$$
$$\left(x-\frac13\right)^2+y^2=\frac19.$$
Значит, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$\left(\frac13;0\right)$$ и радиусом $$\frac13$$.
Ответ
а) окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$4$$; б) окружность с центром в точке $$\left(\frac13;0\right)$$ и радиусом $$\frac13$$.
