Упр.1068 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите количество общих точек окружностей, заданных уравнениями:
   а) $$(x+2)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4$$;
   б) $$(x+3)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4$$.
2. При каком значении $$x$$ векторы $$\mathbf{p}=x\mathbf{a}+17\mathbf{b}$$ и $$\mathbf{q}=3\mathbf{a}-\mathbf{b}$$ перпендикулярны, если $$|\mathbf{a}|=2$$, $$|\mathbf{b}|=5$$ и $$\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=120^\circ$$?

а) Найдём точки пересечения окружностей

$$(x+2)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=4.$$

Из второго уравнения получаем

$$y^2=4-x^2.$$

Подставим в первое:

$$(x+2)^2+4-x^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4+4-x^2=1,$$

$$4x=-7,\qquad x=-\frac{7}{4}.$$

Тогда

$$y^2=4-\left(\frac{7}{4}\right)^2=4-\frac{49}{16}=\frac{15}{16}>0.$$

Значит, есть две точки пересечения.

б) Аналогично:

$$(x+3)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=4.$$

Из второго уравнения:

$$y^2=4-x^2.$$

Подставим в первое:

$$(x+3)^2+4-x^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+6x+9+4-x^2=1,$$

$$6x=-12,\qquad x=-2.$$

Тогда

$$y^2=4-(-2)^2=4-4=0,\qquad y=0.$$

Значит, окружности имеют одну общую точку.

Ответ: а) две точки; б) одна точка.