Упр.1067 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Установите взаимное расположение окружностей, заданных уравнениями: а) $$x^2+y^2=9$$ и $$x^2+y^2=4$$; б) $$(x-1)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4$$.
2. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах $$a=p+2q$$ и $$b=p-3q$$, если $$|p|=2\sqrt{2}$$, $$|q|=3$$ и $$\angle(p,q)=45^\circ$$.

а) Для окружностей $$x^2+y^2=9$$ и $$x^2+y^2=4$$ центры совпадают в начале координат, а радиусы равны соответственно $$3$$ и $$2$$. Так как радиусы разные, окружности имеют общий центр и не пересекаются.

Ответ: нет общих точек.

б) Преобразуем уравнения:

$$(x-1)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=4.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(x-1)^2-x^2=1-4,$$
$$x^2-2x+1-x^2=-3,$$
$$-2x+1=-3,$$
$$x=2.$$

Подставим в уравнение $$x^2+y^2=4$$:

$$2^2+y^2=4,$$
$$y^2=0,$$
$$y=0.$$

Окружности имеют единственную общую точку $$\left(2,0\right)$$, значит, они касаются.

Ответ: касаются.