Упр.1065 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая и окружность заданы уравнениями $$y=x-2$$ и $$x^2+(y-2)^2=9$$. Установите их взаимное расположение.
- Докажите, что треугольник с вершинами $$A(3; 0)$$, $$B(1; 5)$$ и $$C(2; 1)$$ тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
Рассмотрим оба варианта задания.
1. Взаимное расположение прямой и окружности
Подставим уравнение прямой $$y=x-2$$ в уравнение окружности $$x^2+(y-2)^2=9$$:
$$x^2+\bigl((x-2)-2\bigr)^2=9$$
$$x^2+(x-4)^2=9$$
$$x^2+x^2-8x+16=9$$
$$2x^2-8x+7=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 7=64-56=8$$
Так как $$D>0$$, уравнение имеет два различных действительных корня. Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: пересекаются.
2. Треугольник с вершинами $$A(3;0)$$, $$B(1;5)$$, $$C(2;1)$$
Найдём длины сторон:
$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$$
$$BC=\sqrt{(1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$
Наибольшая сторона — $$AB$$, значит, против неё лежит наибольший угол $$\angle C$$.
По теореме косинусов:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$$
$$29=2+17-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \cos \angle C$$
$$29=19-2\sqrt{34}\cos \angle C$$
$$10=-2\sqrt{34}\cos \angle C$$
$$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}$$
Так как $$\cos \angle C<0$$, угол $$\angle C$$ тупой. Следовательно, треугольник $$ABC$$ тупоугольный.
Ответ: $$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}$$, треугольник тупоугольный.
