Упр.1064 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны $$10\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.
2. Чтобы определить расстояние между точками $$A$$ и $$B$$, которое нельзя измерить, выбирают третью точку $$C$$, из которой видны точки $$A$$ и $$B$$. Измерив угол $$\angle ACB$$ и расстояния $$AC$$ и $$CB$$, находят расстояние $$AB$$. Найдите $$AB$$, если $$AC=b$$, $$CB=a$$, $$\angle ACB=a$$.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $$O$$. Тогда они делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу.

Так как $$AC=4\text{ см}$$, $$BD=10\text{ см}$$, то

$$AO=OC=2,\qquad BO=OD=5.$$

Выберем систему координат так, чтобы $$O(0;0)$$, диагональ $$AC$$ лежала на оси $$Ox$$, а диагональ $$BD$$ — на оси $$Oy$$. Тогда

$$A(-2;0),\quad C(2;0),\quad B(0;5),\quad D(0;-5).$$

Найдём уравнения прямых, содержащих стороны ромба.

Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-2;0)$$ и $$B(0;5)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{5-0}{0-(-2)}=\frac{5}{2}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{5}{2}x+5,$$

или в общем виде

$$5x-2y+10=0.$$

Так как $$CD \parallel AB$$, то у прямой $$CD$$ тот же угловой коэффициент $$\frac{5}{2}$$. Она проходит через точку $$C(2;0)$$:

$$0=\frac{5}{2}\cdot 2+b,$$

откуда $$b=-5$$. Значит,

$$y=\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x-2y-10=0.$$

Прямая $$BC$$ проходит через точки $$B(0;5)$$ и $$C(2;0)$$. Тогда

$$k=\frac{0-5}{2-0}=-\frac{5}{2},$$

поэтому

$$y=-\frac{5}{2}x+5,$$

или

$$5x+2y-10=0.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то прямая $$AD$$ имеет тот же угловой коэффициент $$-\frac{5}{2}$$ и проходит через точку $$D(0;-5)$$:

$$y=-\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x+2y+10=0.$$

Ответ

$$AB:\ 5x-2y+10=0,\qquad BC:\ 5x+2y-10=0,\qquad CD:\ 5x-2y-10=0,\qquad AD:\ 5x+2y+10=0.$$