Упр.1063 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5. Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если угол A = а, АВ = с, АС = b.

Подробный ответ

Пусть прямая $$AB$$ имеет уравнение $$y=kx+b$$. Так как точки $$A(-8;-6)$$ и $$B(-3;-1)$$ лежат на этой прямой, подставим их координаты:

$$-6=-8k+b,$$
$$-1=-3k+b.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$5=5k,$$

откуда $$k=1$$.

Подставим значение $$k$$ во второе уравнение:

$$-1=-3+b,$$

следовательно, $$b=2$$.

Итак, уравнение прямой $$AB$$:

$$y=x+2.$$

Так как абсцисса точки $$M$$ равна $$5$$, найдём её ординату:

$$y=5+2=7.$$

Значит, $$M(5;7)$$.

Теперь найдём длину биссектрисы $$AD$$ треугольника $$ABC$$. Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить через стороны $$AB=c$$, $$AC=b$$ и угол $$A=\alpha$$:

$$S_{ABC}=\frac12 ab\sin\alpha.$$

С другой стороны, биссектриса $$AD$$ делит треугольник на два треугольника $$ABD$$ и $$ADC$$:

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}.$$

Тогда

$$\frac12 ab\sin\alpha=\frac12 c\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}+\frac12 b\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac12 ab\sin\alpha=\frac12 AD\sin\frac{\alpha}{2}(b+c).$$

Учитывая, что $$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$, получаем:

$$\frac12 ab\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac12 AD\sin\frac{\alpha}{2}(b+c).$$

Сократим на $$\frac12\sin\frac{\alpha}{2}$$:

$$ab\cos\frac{\alpha}{2}=AD\cdot \frac{b+c}{2}.$$

Отсюда