Упр.1063 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите ординату точки $$M$$, лежащей на прямой $$AB$$, если известно, что $$A(-8; -6)$$, $$B(-3; -1)$$ и абсцисса точки $$M$$ равна $$5$$.
2. Найдите биссектрису $$AD$$ треугольника $$ABC$$, если $$\angle A = a$$, $$AB = c$$, $$AC = b$$.

Пусть $$\angle A=\alpha.$$ Тогда площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}$$

С одной стороны,
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\alpha=\frac12bc\sin\alpha.$$

С другой стороны, так как $$AD$$ — биссектриса, то
$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{\alpha}{2}.$$
Тогда
$$S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}=\frac12c\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2},$$
$$S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}=\frac12b\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,
$$\frac12bc\sin\alpha=\frac12AD\sin\frac{\alpha}{2}(b+c).$$
Умножим на $$2$$ и используем формулу
$$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}:$$

$$bc\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=AD\sin\frac{\alpha}{2}(b+c).$$
Сократим на $$\sin\frac{\alpha}{2}$$:
$$2bc\cos\frac{\alpha}{2}=AD(b+c).$$

Отсюда
$$AD=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$

Ответ: $$AD=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$