Упр.1060 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны координаты вершин трапеции $$ABCD$$: $$A(-2;-2)$$, $$B(-3;1)$$, $$C(7;7)$$ и $$D(3;1)$$. Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали $$AC$$ и $$BD$$ трапеции; б) среднюю линию трапеции.
- Используя теорему синусов, решите треугольник $$ABC$$, если: а) $$AB=8\text{ см}$$, $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle B=45^\circ$$; б) $$AB=5\text{ см}$$, $$\angle B=45^\circ$$, $$\angle C=60^\circ$$; в) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=3{,}3\text{ см}$$, $$\angle A=48^\circ30’$$; г) $$AC=10{,}4\text{ см}$$, $$BC=5{,}2\text{ см}$$, $$\angle B=62^\circ48’$$.
Пусть уравнение прямой имеет вид $$ax+by+c=0.$$
а) Диагональ $$AC$$. Она проходит через точки $$A(-2;-2)$$ и $$C(7;7)$$. Подставим их координаты в уравнение:
$$-2a-2b+c=0,$$
$$7a+7b+c=0.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$9a+9b=0 \Rightarrow a+b=0 \Rightarrow a=-b.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-2(-b)-2b+c=0 \Rightarrow c=0.$$
Тогда уравнение прямой $$AC$$:
$$x-y=0.$$
Диагональ $$BD$$. Она проходит через точки $$B(-3;1)$$ и $$D(3;1)$$, значит, у обеих точек одинаковая ордината. Следовательно,
$$y=1,$$
или в общем виде
$$y-1=0.$$
б) Средняя линия трапеции. Найдём середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$:
$$M\left(\frac{-2+(-3)}{2};\frac{-2+1}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right),$$
$$N\left(\frac{7+3}{2};\frac{7+1}{2}\right)=(5;4).$$
Средняя линия проходит через точки $$M$$ и $$N$$. Найдём её угловой коэффициент:
$$k=\frac{4-(-\frac12)}{5-(-\frac52)}=\frac{\frac92}{\frac{15}{2}}=\frac35.$$
Уравнение прямой через точку $$N(5;4)$$:
$$y-4=\frac35(x-5).$$
Приведём к общему виду:
$$5y-20=3x-15,$$
$$3x-5y+5=0.$$
Ответ: $$AC:\ x-y=0,$$ $$BD:\ y-1=0,$$ средняя линия: $$3x-5y+5=0.$$
