Упр.1057 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = AC = b, угол A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.

Подробный ответ

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=AC=b$$ и $$\angle A=30^\circ$$.

Проведём высоту $$AD$$ к основанию $$BC$$. В равнобедренном треугольнике эта высота является также биссектрисой, значит

$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{30^\circ}{2}=15^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Так как $$BE\perp AC$$, то

$$\angle ABE=90^\circ-\angle A=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABE$$ гипотенуза $$AB=b$$, а угол $$A=30^\circ$$, поэтому

$$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{b}{2}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$ AE=\sqrt{AB^2-BE^2} =\sqrt{b^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{b^2}{4}} =\sqrt{\frac{3b^2}{4}} =\frac{b\sqrt3}{2}. $$

Так как $$AC=b$$, то

$$ EC=AC-AE=b-\frac{b\sqrt3}{2} =\frac{b(2-\sqrt3)}{2}. $$

Теперь найдём $$BC$$ из прямоугольного треугольника $$EBC$$:

$$ BC=\sqrt{BE^2+EC^2} =\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{b(2-\sqrt3)}{2}\right)^2}. $$

$$ BC=\frac{b}{2}\sqrt{1+(2-\sqrt3)^2} =\frac{b}{2}\sqrt{1+4-4\sqrt3+3} =\frac{b}{2}\sqrt{8-4\sqrt3} =b\sqrt{2-\sqrt3}. $$

Найдём высоту $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ADC$$:

$$ AD=\sqrt{AC^2-CD^2}. $$

Так как в равнобедренном треугольнике $$D$$ — середина основания, то

$$CD=\frac{BC}{2}=\frac{b\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

Тогда

$$ AD=\sqrt{b^2-\left(\frac{b\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{b^2(2-\sqrt3)}{4}} =\sqrt{\frac{4b^2-2b^2+\sqrt3\,b^2}{4}} =\sqrt{\frac{b^2(2+\sqrt3)}{4}} =\frac{b\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. $$