Упр.1056 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;0)$$, так как он лежит на оси абсцисс. Тогда по условию радиус равен $$5$$, а точка $$A(1;3)$$ принадлежит окружности.

Запишем условие равенства расстояния от центра до точки $$A$$ радиусу:

$$OA=5.$$

По формуле расстояния между точками:

$$OA=\sqrt{(1-x)^2+(3-0)^2}=\sqrt{(1-x)^2+9}.$$

Тогда

$$\sqrt{(1-x)^2+9}=5,$$

$$ (1-x)^2+9=25,$$

$$ (1-x)^2=16,$$

$$ 1-x=\pm 4.$$

Отсюда

$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=5.$$

Значит, возможны два центра окружности: $$O_1(-3;0)$$ и $$O_2(5;0)$$. Поэтому существует две окружности.

Их уравнения:

$$ (x+3)^2+y^2=25,$$

$$ (x-5)^2+y^2=25.$$

Докажем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали — $$AC$$ и $$BD$$.

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC},$$

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}.$$

Тогда их скалярное произведение равно

$$ \overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC} =(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) =\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{BA}^2. $$

Но в ромбе все стороны равны, значит

$$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BC}|,$$

следовательно,

$$\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{BA}^2=0.$$

Значит,

$$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0,$$

а это означает, что $$BD \perp AC$$.