Упр.1056 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку $$A(1;3)$$, если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен $$5$$. Сколько существует таких окружностей?
2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Обозначим центр окружности через $$O(x;0)$$, так как он лежит на оси абсцисс. Радиус равен $$5$$, а точка $$A(1;3)$$ принадлежит окружности, значит

$$OA=5.$$

По формуле расстояния между точками получаем:

$$OA=\sqrt{(1-x)^2+(3-0)^2}=5.$$

Возведём в квадрат:

$$(1-x)^2+9=25$$

$$(1-x)^2=16$$

$$1-x=\pm 4$$

Отсюда

$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=5.$$

Значит, возможны два центра окружности: $$O_1(-3;0)$$ и $$O_2(5;0)$$.

Тогда уравнения окружностей:

$$(x+3)^2+y^2=25$$

и

$$(x-5)^2+y^2=25.$$

Таких окружностей существует две.

Ответ

$$(x+3)^2+y^2=25,\quad (x-5)^2+y^2=25;$$ таких окружностей $$2$$.