Упр.1052 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Напишите уравнение окружности радиуса $$r$$ с центром $$A$$, если:
   а) $$A(0; 5)$$, $$r=3$$;
   б) $$A(-1; 2)$$, $$r=2$$;
   в) $$A(-3; -7)$$, $$r=\frac{1}{2}$$;
   г) $$A(4; -3)$$, $$r=10$$.
2. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$$ и $$\vec{q}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$$, если $$|\vec{a}|=5$$, $$|\vec{b}|=2$$, $$|\vec{c}|=4$$ и $$\vec{a}\perp\vec{b}$$.

Так как $$\vec p=\vec a-\vec b-\vec c$$ и $$\vec q=\vec a-\vec b+\vec c,$$ то

$$\vec p\cdot \vec q=(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a-\vec b+\vec c).$$

Раскроем скобки:

$$\vec p\cdot \vec q=\vec a\cdot \vec a-\vec a\cdot \vec b+\vec a\cdot \vec c-\vec b\cdot \vec a+\vec b\cdot \vec b-\vec b\cdot \vec c-\vec c\cdot \vec a+\vec c\cdot \vec b-\vec c\cdot \vec c.$$

Так как $$\vec a\perp \vec b,$$ то $$\vec a\cdot \vec b=0$$ и $$\vec b\cdot \vec a=0.$$ Кроме того, в данном решении принимается, что остальные смешанные произведения взаимно сокращаются, поэтому остаётся

$$\vec p\cdot \vec q=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}-\vec c^{\,2}.$$

Подставим значения длин векторов:

$$\vec p\cdot \vec q=5^2+2^2-4^2=25+4-16=13.$$

Ответ: $$13$$.