Упр.1049 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На окружности, заданной уравнением $$x^2+y^2=25$$, найдите точки: а) с абсциссой $$-4$$; б) с ординатой $$3$$.
Найдите углы треугольника с вершинами $$A(-1;\sqrt{3})$$, $$B(1;-\sqrt{3})$$ и $$C\left(\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$$.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4,$$
$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2}=\frac32,$$
$$BC=\sqrt{\left(\frac12-1\right)^2+(\sqrt3-(-\sqrt3))^2}=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{\frac14+12}=\frac72.$$

Теперь найдём углы треугольника по теореме косинусов.

$$\cos \angle A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{16+\frac94-\frac{49}{4}}{2\cdot 4\cdot \frac32} =\frac{16-10}{12} =\frac12,$$
значит,
$$\angle A=60^\circ.$$

$$\cos \angle B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} =\frac{16+\frac{49}{4}-\frac94}{2\cdot 4\cdot \frac72} =\frac{16+10}{28} =\frac{13}{14}.$$

Тогда

$$\angle B \approx 21^\circ47′.$$

Остался третий угол:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-21^\circ47’=98^\circ13′.$$