Упр.1048 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны окружность $$x^2+y^2=25$$ и две точки $$A(3;4)$$ и $$B(4;-3)$$. Докажите, что $$AB$$ — хорда данной окружности.
- Найдите косинусы углов треугольника с вершинами $$A(2;8)$$, $$B(-1;5)$$, $$C(3;1)$$.
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(8-5)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-5)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-8)^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2}=5\sqrt{2}.$$
Теперь применим теорему косинусов.
Для угла $$A$$:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$
$$(4\sqrt{2})^2=(3\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos A$$
$$32=18+50-60\cos A$$
$$60\cos A=36,\qquad \cos A=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}.$$
Для угла $$B$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$(5\sqrt{2})^2=(3\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \cos B$$
$$50=18+32-48\cos B$$
$$48\cos B=0,\qquad \cos B=0.$$
Для угла $$C$$:
$$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C$$
$$(3\sqrt{2})^2=(4\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos C$$
$$18=32+50-80\cos C$$
$$80\cos C=64,\qquad \cos C=\frac{64}{80}=\frac{4}{5}.$$
Ответ: $$\cos A=\frac{3}{5},\ \cos B=0,\ \cos C=\frac{4}{5}.$$
