Упр.1047 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Окружность задана уравнением (x + 5)2 + (у — 1)2= 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; 6) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью. При каком значении х векторы а и b перпендикулярны, если: а) a {4; 5}, b {x; -6}; б) а{x;-1}, b{3; 2}; в) а {0;-3}, b{5; x}?

Окружность задана уравнением $$\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=16.$$

Её центр $$O(-5;1),$$ радиус $$R=4.$$

Чтобы определить положение точки относительно круга, подставим её координаты в левую часть уравнения и сравним с $$16$$:

• если значение меньше $$16,$$ точка лежит внутри круга;
• если равно $$16,$$ точка лежит на окружности;
• если больше $$16,$$ точка лежит вне круга.

Для точки $$A(-2;4):$$

$$\left(-2+5\right)^2+\left(4-1\right)^2=3^2+3^2=9+9=18>16,$$

значит, $$A$$ лежит вне круга.

Для точки $$B(-5;-3):$$

$$\left(-5+5\right)^2+\left(-3-1\right)^2=0^2+(-4)^2=16,$$

значит, $$B$$ лежит на окружности.

Для точки $$C(-7;-2):$$

$$\left(-7+5\right)^2+\left(-2-1\right)^2=(-2)^2+(-3)^2=4+9=13<16,$$

значит, $$C$$ лежит внутри круга.

Для точки $$D(1;5):$$

$$\left(1+5\right)^2+\left(5-1\right)^2=6^2+4^2=36+16=52>16,$$

значит, $$D$$ лежит вне круга.

Теперь найдём $$x,$$ при котором векторы перпендикулярны. Для перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec a\cdot \vec b=0.$$

а) $$\vec a=\{4;5\},\ \vec b=\{x;-6\}:$$

$$4x+5\cdot(-6)=0,$$

$$4x-30=0,$$

$$x=7{,}5.$$

б) $$\vec a=\{x;-1\},\ \vec b=\{3;2\}:$$

$$3x+(-1)\cdot 2=0,$$

$$3x-2=0,$$

$$x=\frac{2}{3}.$$

в) $$\vec a=\{0;-3\},\ \vec b=\{5;x\}:$$

$$0\cdot 5+(-3)x=0,$$

$$-3x=0,$$

$$x=0.$$

Ответ

1) внутри круга — $$C$$; на окружности — $$B$$; вне круга — $$A$$ и $$D$$.

2) а) $$7{,}5$$; б) $$\frac{2}{3}$$; в) $$0$$.