Упр.1046 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какие из точек \(A(3; -4)\), \(B(1; 0)\), \(C(0; 5)\), \(D(0; 0)\) и \(E(0; 1)\) лежат на окружности, заданной уравнением:
   а) $$x^2+y^2=25$$;
   б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$;
   в) $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=\frac{1}{4}$$?
2. Докажите, что векторы $$i+j$$ и $$i-j$$ перпендикулярны, если $$i$$ и $$j$$ — координатные векторы.

Проверим подстановкой координат точек в уравнения окружностей.

а)

Для окружности $$x^2+y^2=25$$:

$$A(3;-4):\;3^2+(-4)^2=9+16=25,$$ значит, точка $$A$$ лежит на окружности.

$$B(1;0):\;1^2+0^2=1\neq 25,$$ значит, точка $$B$$ не лежит на окружности.

$$C(0;5):\;0^2+5^2=25,$$ значит, точка $$C$$ лежит на окружности.

$$D(0;0):\;0^2+0^2=0\neq 25,$$ значит, точка $$D$$ не лежит на окружности.

$$E(0;1):\;0^2+1^2=1\neq 25,$$ значит, точка $$E$$ не лежит на окружности.

б)

Для окружности $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$:

$$A(3;-4):\;(3-1)^2+(-4+3)^2=4+1=5\neq 9,$$ значит, точка $$A$$ не лежит на окружности.

$$B(1;0):\;(1-1)^2+(0+3)^2=0+9=9,$$ значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

$$C(0;5):\;(0-1)^2+(5+3)^2=1+64=65\neq 9,$$ значит, точка $$C$$ не лежит на окружности.

$$D(0;0):\;(0-1)^2+(0+3)^2=1+9=10\neq 9,$$ значит, точка $$D$$ не лежит на окружности.

$$E(0;1):\;(0-1)^2+(1+3)^2=1+16=17\neq 9,$$ значит, точка $$E$$ не лежит на окружности.

в)

Для уравнения $$(x-\tfrac12)^2+y^2=\tfrac14$$:

$$A(3;-4):\;(3-\tfrac12)^2+(-4)^2=\tfrac{25}{4}+16\neq \tfrac14,$$ значит, точка $$A$$ не лежит на окружности.

$$B(1;0):\;(1-\tfrac12)^2+0^2=\tfrac14,$$ значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

$$C(0;5):\;(0-\tfrac12)^2+5^2=\tfrac14+25\neq \tfrac14,$$ значит, точка $$C$$ не лежит на окружности.

$$D(0;0):\;(0-\tfrac12)^2+0^2=\tfrac14,$$ значит, точка $$D$$ лежит на окружности.

$$E(0;1):\;(0-\tfrac12)^2+1^2=\tfrac14+1\neq \tfrac14,$$ значит, точка $$E$$ не лежит на окружности.

Ответ: а) $$A$$ и $$C$$; б) $$B$$; в) $$B$$ и $$D$$.