Упр.1045 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2 + у2 = 9; б) (х — 1)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + 5)2 + (у — 3)2 = 25; г) (х — 1)2 + у2 = 4; д) х2 + (у + 2)2 = 2. Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; х} перпендикулярны.

Уравнение окружности имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2,$$ где $$O(a;b)$$ — центр окружности, $$R$$ — радиус.

а) $$x^2+y^2=9.$$ Тогда центр окружности $$O(0;0),$$ радиус $$R=3.$$

б) $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=4.$$ Тогда центр окружности $$O(1;-2),$$ радиус $$R=2.$$

в) $$\left(x+5\right)^2+\left(y-3\right)^2=25.$$ Тогда центр окружности $$O(-5;3),$$ радиус $$R=5.$$

г) $$\left(x-1\right)^2+y^2=4.$$ Тогда центр окружности $$O(1;0),$$ радиус $$R=2.$$

д) $$x^2+\left(y+2\right)^2=2.$$ Тогда центр окружности $$O(0;-2),$$ радиус $$R=\sqrt{2}.$$

Докажем, что векторы $$\vec a=\{x;y\}$$ и $$\vec b=\{-y;x\}$$ перпендикулярны.

Для перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec a\cdot \vec b=x\cdot(-y)+y\cdot x=-xy+xy=0.$$

Следовательно, $$\vec a \perp \vec b.$$

Ответ

а) $$O(0;0),\ R=3$$; б) $$O(1;-2),\ R=2$$; в) $$O(-5;3),\ R=5$$; г) $$O(1;0),\ R=2$$; д) $$O(0;-2),\ R=\sqrt{2}$$; $$\vec a \perp \vec b.$$