Упр.1044 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Докажите, что для произвольной точки $$M$$ плоскости справедливо равенство $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$$.
2. Вычислите скалярное произведение векторов $$a$$ и $$b$$, если:
   а) $$a\left\{\frac{1}{4};-1\right\},\ b\{2;3\}$$;
   б) $$a\{-5;6\},\ b\{6;5\}$$;
   в) $$a\{1{,}5;2\},\ b\{4;-0{,}5\}$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(0;c),\; C(a;c),\; D(a;0),\; M(x;y).$$

Тогда по формуле расстояния получаем:

$$AM^2=(x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2,$$

$$BM^2=(x-0)^2+(y-c)^2=x^2+(y-c)^2,$$

$$CM^2=(x-a)^2+(y-c)^2,$$

$$DM^2=(x-a)^2+(y-0)^2=(x-a)^2+y^2.$$

Сложим попарно:

$$AM^2+CM^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-c)^2,$$

$$BM^2+DM^2=x^2+(y-c)^2+(x-a)^2+y^2.$$

Левые и правые части совпадают, значит,

$$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2.$$