Упр.1043 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
2. К одной и той же точке приложены две силы $$P$$ и $$Q$$, действующие под углом $$120^\circ$$ друг к другу, причём $$\lvert P\rvert=8$$, $$\lvert Q\rvert=15$$. Найдите величину равнодействующей силы $$R$$.

Обозначим диагонали параллелограмма $$AC$$ и $$BD$$. Пусть они пересекаются в точке $$O$$.

Так как в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=\frac{AC}{2}, \qquad BO=\frac{BD}{2}.$$

По условию $$AC=BD$$, значит

$$AO=BO.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$. У них:

• $$AO=BO$$;
• $$BO=CO$$, так как $$O$$ — середина диагонали $$BD$$;
• $$OB$$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равны по трём сторонам. Тогда

$$\angle AOB=\angle BOC.$$

Но эти углы смежные, значит

$$\angle AOB=\angle BOC=90^\circ.$$

Следовательно, диагонали параллелограмма перпендикулярны. В параллелограмме равные диагонали означают, что соседние стороны образуют прямой угол, то есть параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: параллелограмм — прямоугольник.