Упр.1042 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
В равностороннем треугольнике ABC со стороной $$a$$ проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$$; б) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$$; в) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$$; г) $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}$$.

Подробный ответ

Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, у которой $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$. Обозначим диагонали $$AC$$ и $$BD$$.

Докажем, что $$AC=BD$$.

Проведём через вершины трапеции ось симметрии. В равнобедренной трапеции она проходит через середины оснований и является осью симметрии фигуры, поэтому точки $$A$$ и $$D$$, $$B$$ и $$C$$ попарно симметричны. Следовательно, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ переходят друг в друга при симметрии, а значит, равны:

$$AC=BD.$$

Сформулируем обратное утверждение:

если в трапеции диагонали равны, то такая трапеция равнобедренная.

Докажем это. Пусть в трапеции $$ABCD$$ выполнено $$AD \parallel BC$$ и $$AC=BD$$. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(-a;0), \quad D(a;0), \quad B(-b;h), \quad C(c;h).$$

Тогда

$$AC^2=(c+a)^2+h^2,$$

$$BD^2=(a-b)^2+h^2.$$

По условию $$AC=BD$$, значит, $$AC^2=BD^2$$:

$$(c+a)^2+h^2=(a-b)^2+h^2,$$

откуда

$$(c+a)^2=(a-b)^2.$$

Так как в трапеции основания расположены симметрично относительно оси, получаем $$c=-b$$, то есть точки $$B$$ и $$C$$ симметричны относительно середины основания. Тогда

$$AB=CD.$$

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.