Упр.1040 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна $$160\text{ см}$$, а основание треугольника равно $$80\text{ см}$$. Найдите две другие медианы этого треугольника.
- Диагонали ромба $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, и диагональ $$BD$$ равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:
а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$;
б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$;
в) $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$;
г) $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{OD}$$;
д) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$;
е) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.
Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, $$BO$$ — медиана к основанию $$AC$$, $$BO=160$$ см, $$AC=80$$ см. Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда $$CE$$ и $$AF$$ — искомые медианы.
Введём координаты: $$O(0;0)$$, $$A(-40;0)$$, $$C(40;0)$$, $$B(0;160)$$.
Так как $$E$$ — середина отрезка $$AB$$, то
$$x_E=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-40+0}{2}=-20,\qquad y_E=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+160}{2}=80.$$
Значит, $$E(-20;80)$$.
Так как $$F$$ — середина отрезка $$BC$$, то
$$x_F=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{0+40}{2}=20,\qquad y_F=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{160+0}{2}=80.$$
Значит, $$F(20;80)$$.
Теперь найдём длины медиан:
$$CE=\sqrt{(-20-40)^2+(80-0)^2} =\sqrt{3600+6400} =\sqrt{10000}=100\text{ см},$$
$$AF=\sqrt{(20-(-40))^2+(80-0)^2} =\sqrt{3600+6400} =\sqrt{10000}=100\text{ см}.$$
Ответ: $$CE=100$$ см, $$AF=100$$ см.
