Упр.104 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём AC = AD и АВ = АЕ. Докажите, что уголCBD = уголDEC. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle AEC$$.

По условию $$AC=AD$$ и $$AB=AE$$, а угол $$\angle CAD$$ — общий для этих треугольников, так как лучи $$AB$$ и $$AC$$ лежат на одной прямой, а лучи $$AE$$ и $$AD$$ — на другой.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle AEC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle ABD=\angle AEC.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle CBD$$ и $$\angle DEC$$.

Углы $$\angle CBD$$ и $$\angle ABD$$ — смежные, поэтому

$$\angle CBD=180^\circ-\angle ABD.$$

Углы $$\angle DEC$$ и $$\angle AEC$$ — смежные, поэтому

$$\angle DEC=180^\circ-\angle AEC.$$

Так как $$\angle ABD=\angle AEC$$, то их дополнительные углы тоже равны:

$$\angle CBD=\angle DEC.$$

Для построения трёх равнобедренных треугольников достаточно взять разные виды угла при вершине $$B$$:

а) острый угол — например, равнобедренный треугольник с вершиной $$B$$ и углом $$\angle ABC<90^\circ$$;
б) прямой угол — равнобедренный прямоугольный треугольник, где $$\angle ABC=90^\circ$$;
в) тупой угол — равнобедренный треугольник, где $$\angle ABC>90^\circ$$.

Во всех трёх случаях нужно сохранить равенство боковых сторон, например $$AB=BC$$.