Упр.1039 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
- Задание учебника 2023 года. Диагонали квадрата $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$; б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; в) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; г) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; д) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$; е) $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$; ж) $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$; з) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$.
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
$$A(0,0),\quad D(a,0),\quad B(b,c),\quad C(a+b,c).$$
Тогда найдём длины сторон и диагоналей по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(b-0)^2+(c-0)^2}=\sqrt{b^2+c^2},$$
$$BC=\sqrt{(a+b-b)^2+(c-c)^2}=a,$$
$$CD=\sqrt{(a+b-a)^2+(c-0)^2}=\sqrt{b^2+c^2},$$
$$AD=\sqrt{(a-0)^2+(0-0)^2}=a.$$
Диагонали:
$$AC=\sqrt{(a+b-0)^2+(c-0)^2}=\sqrt{(a+b)^2+c^2},$$
$$BD=\sqrt{(a-b)^2+(0-c)^2}=\sqrt{(a-b)^2+c^2}.$$
Теперь возведём в квадрат и сложим:
$$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=(b^2+c^2)+a^2+(b^2+c^2)+a^2=2(a^2+b^2+c^2),$$
$$AC^2+BD^2=(a+b)^2+c^2+(a-b)^2+c^2.$$
Раскроем скобки:
$$AC^2+BD^2=a^2+2ab+b^2+c^2+a^2-2ab+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2).$$
Следовательно,
$$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2.$$
Что и требовалось доказать.
