Упр.1038 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
2. На горе находится башня, высота которой равна $$100\ \text{м}$$ (рис. 299). Некоторый предмет $$A$$ у подножия горы наблюдают сначала с вершины $$B$$ башни под углом $$60^\circ$$ к горизонту, а потом с её основания $$C$$ под углом $$30^\circ$$. Найдите высоту $$H$$ горы.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, где $$\angle C=90^\circ$$, а $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$. Докажем, что $$MA=MB=MC$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$C(0;0),\quad A(0;b),\quad B(a;0).$$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то по формуле координат середины

$$M\left(\frac{0+a}{2};\frac{b+0}{2}\right)=\left(\frac a2;\frac b2\right).$$

Найдём расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника:

$$MA=\sqrt{\left(\frac a2-0\right)^2+\left(\frac b2-b\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MB=\sqrt{\left(\frac a2-a\right)^2+\left(\frac b2-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MC=\sqrt{\left(\frac a2-0\right)^2+\left(\frac b2-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2}.$$

Следовательно,

$$MA=MB=MC,$$

то есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.