Упр.1034 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М (1; 1), N(6; 1), Р(7; 4), Q (2; 4); б) М (-5; 1), N(-4; 4), Р(-1; 5), Q(-2; 2). В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

Подробный ответ

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между двумя точками:

$$ MQ=\sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} $$
$$ NP=\sqrt{(7-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} $$
$$ MN=\sqrt{(6-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{25}=5 $$
$$ PQ=\sqrt{(2-7)^2+(4-4)^2}=\sqrt{25}=5 $$

Получили, что $$MQ=NP$$ и $$MN=PQ$$. Следовательно, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь найдём диагонали:

$$ NQ=\sqrt{(2-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5 $$
$$ MP=\sqrt{(7-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} $$

б) Аналогично вычислим стороны:

$$ MQ=\sqrt{(-2+5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} $$
$$ NP=\sqrt{(-1+4)^2+(5-4)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} $$
$$ MN=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} $$
$$ PQ=\sqrt{(-2+1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} $$

Значит, $$MQ=NP$$ и $$MN=PQ$$, поэтому $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Диагонали:

$$ NQ=\sqrt{(-2+4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $$
$$ MP=\sqrt{(-1+5)^2+(5-1)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} $$

Периметр равнобедренной трапеции. Пусть боковая сторона равна $$x$$. По условию меньшее основание тоже равно $$x$$, большее основание равно $$10$$ см. Тогда на каждую из проекций боковых сторон на основание приходится

$$ \frac{10-x}{2} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник при основании трапеции. Тогда

$$ \cos 70^\circ=\frac{10-x}{2x} $$

Так как $$\cos 70^\circ \approx 0{,}342$$, получаем:

$$ 0{,}342=\frac{10-x}{2x} $$
$$ 0{,}684x=10-x $$
$$ 1{,}684x=10 $$
$$ x\approx 5{,}94\approx 6 $$

Тогда периметр трапеции:

$$ P=10+x+x+x=10+3x=10+18=28\text{ см} $$