Упр.1033 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) $$A(0; 1),\ B(1; -4),\ C(5; 2)$$; б) $$A(-4; 1),\ B(-2; 4),\ C(0; 1)$$.
Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Подробный ответ

Докажем сначала, что треугольник равнобедренный, сравнив длины его сторон по формуле расстояния между точками.

а)

$$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$
$$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$
$$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

Получаем $$AB=AC=\sqrt{26}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$.

Найдём площадь. Так как в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, найдём середину стороны $$BC$$:

$$x_M=\frac{1+5}{2}=3,\qquad y_M=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Следовательно, $$M(3;-1)$$. Тогда

$$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AM=\frac12\cdot 2\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13$$

б)

$$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
$$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
$$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16+0}=4$$

Получаем $$AB=BC=\sqrt{13}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Найдём площадь. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Найдём середину стороны $$AC$$:

$$x_M=\frac{-4+0}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{1+1}{2}=1$$