Упр.1031 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите сторону $$AC$$ и диагональ $$OC$$ трапеции $$OBCA$$ с основаниями $$OA=a$$ и $$BC=d$$, если точка $$A$$ лежит на положительной полуоси $$Ox$$, а вершина $$B$$ имеет координаты $$(b;c)$$.
- Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
Пусть стороны треугольника равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$, причём напротив угла $$A$$ лежит сторона $$a$$. По теореме косинусов:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$
а) $$5,\,4,\,4$$
Пусть $$a=5$$, $$b=4$$, $$c=4$$. Тогда
$$25=16+16-2\cdot 4\cdot 4\cos A,$$
$$25=32-32\cos A,$$
$$32\cos A=7,$$
$$\cos A=\frac{7}{32}>0.$$
Значит, угол $$A$$ острый. Так как наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла, то все углы треугольника острые. Следовательно, треугольник остроугольный.
б) $$17,\,8,\,15$$
Пусть $$a=17$$, $$b=8$$, $$c=15$$. Тогда
$$289=64+225-2\cdot 8\cdot 15\cos A,$$
$$289=289-240\cos A,$$
$$240\cos A=0,$$
$$\cos A=0.$$
Следовательно, $$\angle A=90^\circ$$, и треугольник прямоугольный.
в) $$9,\,5,\,6$$
Пусть $$a=9$$, $$b=5$$, $$c=6$$. Тогда
$$81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos A,$$
$$81=61-60\cos A,$$
$$60\cos A=-20,$$
$$\cos A=-\frac13<0.$$
Значит, угол $$A$$ тупой, поэтому треугольник тупоугольный.
Ответ: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.
