Упр.1025 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Найдите длины векторов: а) $$\vec a=\{5; 9\}$$; б) $$\vec b=\{-3; 4\}$$; в) $$\vec c=\{-10; -10\}$$; г) $$\vec d=\{10; 17\}$$; д) $$\vec e=\{11; -11\}$$; е) $$\vec f=\{10; 0\}$$.
Задание учебника 2023 года. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник $$ABC$$, если: а) $$\angle A=60^\circ$$, $$\angle B=40^\circ$$, $$c=14$$; б) $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle C=75^\circ$$, $$b=4{,}5$$; г) $$\angle B=45^\circ$$, $$\angle C=70^\circ$$, $$a=24{,}6$$; e) $$a=6{,}3$$, $$b=6{,}3$$, $$\angle C=54^\circ$$; з) $$a=14$$, $$b=18$$, $$c=20$$; в) $$\angle A=80^\circ$$, $$a=16$$, $$b=10$$; д) $$\angle A=60^\circ$$, $$a=10$$, $$b=7$$; ж) $$b=32$$, $$c=45$$, $$\angle A=87^\circ$$; и) $$a=6$$, $$b=7{,}3$$, $$c=4{,}8$$.

Подробный ответ

Решим каждый пункт по теореме синусов или косинусов.

$$\angle C=180^\circ-(60^\circ+40^\circ)=80^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
$$a=\frac{14\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}\approx \frac{14\cdot 0{,}8660}{0{,}9848}\approx 12{,}31$$
$$b=\frac{14\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx \frac{14\cdot 0{,}6428}{0{,}9848}\approx 9{,}14$$
$$\angle B=180^\circ-(30^\circ+75^\circ)=75^\circ.$$
Так как $$\angle B=\angle C,$$ то треугольник равнобедренный, значит $$c=b=4{,}5.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 75^\circ}=\frac{4{,}5}{\sin 30^\circ}$$
$$a=\frac{4{,}5\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}\approx \frac{4{,}5\cdot 0{,}5}{0{,}9659}\approx 2{,}33$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 80^\circ}{16}\approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{16}\approx 0{,}6155$$
$$\angle B\approx 37^\circ59′$$
$$\angle C=180^\circ-(80^\circ+37^\circ59′)\approx 62^\circ01′$$
$$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$$
$$c=\frac{16\sin 62^\circ01′}{\sin 80^\circ}\approx \frac{16\cdot 0{,}8830}{0{,}9848}\approx 14{,}35$$
$$\angle A=180^\circ-(45^\circ+70^\circ)=65^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
$$b=\frac{24{,}6\sin 45^\circ}{\sin 65^\circ}\approx \frac{24{,}6\cdot 0{,}7071}{0{,}9063}\approx 19{,}19$$
$$c=\frac{24{,}6\sin 70^\circ}{\sin 65^\circ}\approx \frac{24{,}6\cdot 0{,}9397}{0{,}9063}\approx 25{,}51$$
Так как $$a=b=6{,}3,$$ то $$\angle A=\angle B.$$
$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ$$
По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$
$$c^2=6{,}3^2+6{,}3^2-2\cdot 6{,}3\cdot 6{,}3\cos 54^\circ$$
$$c^2\approx 79{,}38-79{,}38\cdot 0{,}5878\approx 32{,}72$$
$$c\approx 5{,}72$$
По теореме косинусов:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
$$a^2=32^2+45^2-2\cdot 32\cdot 45\cos 87^\circ\approx 2898{,}38$$
$$a\approx 53{,}84$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{32\sin 87^\circ}{53{,}84}\approx 0{,}5935$$
$$\angle B\approx 36^\circ18′$$
$$\angle C=180^\circ-(87^\circ+36^\circ18′)\approx 56^\circ42′$$
По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$
$$20^2=14^2+18^2-2\cdot 14\cdot 18\cos C$$
$$400=196+324-504\cos C$$
$$504\cos C=120,\qquad \cos C\approx 0{,}2381$$
$$\angle C\approx 76^\circ13′$$
Далее:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$
$$18^2=14^2+20^2-2\cdot 14\cdot 20\cos B$$
$$324=196+400-560\cos B$$
$$560\cos B=272,\qquad \cos B\approx 0{,}4857$$
$$\angle B\approx 60^\circ57′$$
$$\angle A=180^\circ-(76^\circ13’+60^\circ57′)\approx 42^\circ50′$$
По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$
$$4{,}8^2=7{,}3^2+6^2-2\cdot 7{,}3\cdot 6\cos C$$
$$23{,}04=53{,}29+36-87{,}6\cos C$$
$$\cos C\approx 0{,}7563,\qquad \angle C\approx 40^\circ52′$$
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$
$$7{,}3^2=6^2+4{,}8^2-2\cdot 6\cdot 4{,}8\cos B$$
$$53{,}29=36+23{,}04-57{,}6\cos B$$
$$\cos B\approx 0{,}0998,\qquad \angle B\approx 84^\circ16′$$
$$\angle A=180^\circ-(84^\circ16’+40^\circ52′)\approx 54^\circ52′$$

Ответ

а) $$\angle C=80^\circ,\ a\approx 12{,}31,\ b\approx 9{,}14.$$
б) $$\angle B=75^\circ,\ a\approx 2{,}33,\ c=4{,}5.$$
в) $$\angle B\approx 37^\circ59′,\ \angle C\approx 62^\circ01′,\ c\approx 14{,}35.$$
г) $$\angle A=65^\circ,\ b\approx 19{,}19,\ c\approx 25{,}51.$$
д) $$\angle A=\angle B=63^\circ,\ c\approx 5{,}72.$$
ж) $$a\approx 53{,}84,\ \angle B\approx 36^\circ18′,\ \angle C\approx 56^\circ42′.$$
з) $$\angle A\approx 42^\circ50′,\ \angle B\approx 60^\circ57′,\ \angle C\approx 76^\circ13′.$$
и) $$\angle A\approx 54^\circ52′,\ \angle B\approx 84^\circ16′,\ \angle C\approx 40^\circ52′.$$