Упр.1020 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), В (5; 0), С (12;-3.). Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = 6корень8 см, АС = 4 см, угол A = 60°; б) ВС = 3см, АВ — 18корень2 см, угол B = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, угол C = 48°.

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD},$$

откуда

$$\vec{AD}=\vec{AC}-\vec{AB}.$$

Найдём координаты вектора $$\vec{AC}$$:

$$\vec{AC}=(12-0;\,-3-0)=(12;\,-3).$$

Тогда

$$\vec{AD}=(12;\,-3)-(5;\,0)=(7;\,-3).$$

Следовательно,

$$D(7;\,-3).$$

2) Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними находим по формуле

$$S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma.$$

а) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{8}\cdot 4\cdot \sin 60^\circ$$

$$S_{ABC}=12\sqrt{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{6}\ \text{см}^2.$$

б) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AB\cdot \sin\angle B$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 18\sqrt{2}\cdot \sin 45^\circ$$

$$S_{ABC}=27\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=27\ \text{см}^2.$$

в) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin\angle C$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7\cdot \sin 48^\circ=49\sin 48^\circ.$$

$$49\sin 48^\circ \approx 49\cdot 0{,}743 \approx 36{,}41\ \text{см}^2.$$

Ответ

$$D(7;\,-3);$$ $$a)\ 12\sqrt{6}\ \text{см}^2;\quad б)\ 27\ \text{см}^2;\quad в)\ 36{,}41\ \text{см}^2.$$