Упр.102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AC$$ и $$BD$$ точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $$\triangle ABC = \triangle CDA$$.
2. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Пусть точка пересечения отрезков $$AC$$ и $$BD$$ — это точка $$O$$. Тогда по условию

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$.

У них:

• $$AO=OC$$;
• $$BO=OD$$;
• $$\angle AOB=\angle COD$$, так как это вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем:

$$AB=CD,\qquad \angle BAO=\angle DCO.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$.

У них:

• $$AC$$ — общая сторона;
• $$AB=CD$$;
• $$\angle BAC=\angle DCA$$, так как $$\angle BAO=\angle DCO$$ и точки $$A,O,C$$ лежат на одной прямой.

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$.