Упр.1019 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображённого на рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО равна h. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (-корень3; 1); г) (-2корень2; 2корень2).

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$CO$$ — высота, то в равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой. Значит, точка $$O$$ — середина основания $$AB$$, поэтому

$$AO=OB=\frac{AB}{2}=a.$$

Тогда координаты вершин можно записать так:

$$A(-a;0), \quad B(a;0), \quad C(0;h).$$

Ответ: $$A(-a;0),\ B(a;0),\ C(0;h).$$

Ход решения

Найдём угол между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$ для каждой точки $$A$$.

а) $$A(2;2).$$ Тогда

$$OA^2=2^2+2^2=8,\quad OA=2\sqrt{2}.$$

Пусть $$\alpha$$ — искомый угол. Тогда

$$\cos\alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=45^\circ.$$

б) $$A(0;3).$$ Тогда

$$OA^2=0^2+3^2=9,\quad OA=3.$$

Имеем

$$\cos\alpha=\frac{0}{3}=0,\qquad \sin\alpha=\frac{3}{3}=1.$$

Значит, $$\alpha=90^\circ.$$

в) $$A(-\sqrt{3};1).$$ Тогда

$$OA^2=( -\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4,\quad OA=2.$$

Получаем

$$\cos\alpha=\frac{-\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\alpha=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=150^\circ.$$

г) $$A(-2\sqrt{2};2\sqrt{2}).$$ Тогда

$$OA^2=( -2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16,\quad OA=4.$$

Имеем

$$\cos\alpha=\frac{-2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значит, $$\alpha=135^\circ.$$

Ответ

$$A(-a;0),\ B(a;0),\ C(0;h);$$ а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$135^\circ$$.