Упр.1017 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1017. Корабль проплывает от пункта А сначала 100 км на восток, а потом 75 км на север. В системе координат, указанной на рисунке 314, изобразите результирующее перемещение как вектор а. Найдите координаты вектора а. Постройте угол А, если: а) sin А = 2/3; б) cos А = 3/4; в) cos А = -2/5

1) Перемещение корабля состоит из двух взаимно перпендикулярных движений: $$100$$ км на восток и $$75$$ км на север. Поэтому координаты результирующего вектора равны:

$$\vec a=\{100;\,75\}.$$

2) Построим угол $$A$$ по заданному значению тригонометрической функции, используя единичную окружность.

а) $$\sin A=\frac{2}{3}.$$ Тогда

$$\sin^2 A+\cos^2 A=1,$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2+\cos^2 A=1,$$

$$\cos^2 A=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},$$

$$\cos A=\frac{\sqrt5}{3}.$$

Значит, точка на единичной окружности имеет координаты $$\left(\frac{\sqrt5}{3};\,\frac{2}{3}\right).$$

б) $$\cos A=\frac{3}{4}.$$ Тогда

$$\sin^2 A+\cos^2 A=1,$$

$$\sin^2 A+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1,$$

$$\sin^2 A=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16},$$

$$\sin A=\frac{\sqrt7}{4}.$$

Следовательно, точка на единичной окружности имеет координаты $$\left(\frac{3}{4};\,\frac{\sqrt7}{4}\right).$$

в) $$\cos A=-\frac{2}{5}.$$ Тогда

$$\sin^2 A+\cos^2 A=1,$$

$$\sin^2 A+\left(-\frac{2}{5}\right)^2=1,$$

$$\sin^2 A=1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25},$$

$$\sin A=\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

Следовательно, точка на единичной окружности имеет координаты $$\left(-\frac{2}{5};\,\frac{\sqrt{21}}{5}\right).$$

Ответ

$$\vec a=\{100;\,75\};$$

а) $$\left(\frac{\sqrt5}{3};\,\frac{2}{3}\right);$$ б) $$\left(\frac{3}{4};\,\frac{\sqrt7}{4}\right);$$ в) $$\left(-\frac{2}{5};\,\frac{\sqrt{21}}{5}\right).$$