Упр.1015 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны векторы а {3; 7}, b{-2;1}, с (6; 14}, d{2;-1}, е {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы. Найдите tg а, если: а) cosa=l; б) cosa =-корень3/2; в) sina = корень2/2 и 0°<а<90°; г) sina = 3/5 и 90° < а< 180°.

Коллинеарные векторы отличаются друг от друга множителем. Проверим данные векторы:

$$\vec c=(6;14)=2\cdot(3;7)=2\vec a,$$
$$\vec d=(2;-1)=-1\cdot(-2;1)=-1\vec b.$$

Значит, коллинеарны пары $$\vec a$$ и $$\vec c$$, $$\vec b$$ и $$\vec d$$. Вектор $$\vec e=(2;4)$$ ни с одним из данных векторов не коллинеарен.

Найдём $$\tg \alpha$$.

а) Если $$\cos \alpha=1$$, то по формуле $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ получаем:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-1=0,$$
$$\sin\alpha=0,$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{0}{1}=0.$$

б) Если $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$$, то

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},$$
$$\sin\alpha=\pm\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\pm\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\mp\frac{\sqrt3}{3}.$$

Следовательно, $$\tg\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}$$.

в) Если $$\sin \alpha=\frac{\sqrt2}{2}$$ и $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$, то угол острый, значит $$\cos\alpha>0$$.

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},$$
$$\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

г) Если $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$, то угол тупой, значит $$\cos\alpha<0$$.

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},$$
$$\cos\alpha=-\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34.$$

Ответ

Коллинеарные векторы: $$\vec a$$ и $$\vec c$$, $$\vec b$$ и $$\vec d$$.

$$\tg\alpha:$$ а) $$0$$; б) $$\pm\frac{\sqrt3}{3}$$; в) $$1$$; г) $$-\frac34$$.