Упр.1014 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

2. Задание учебника 2023 года. Найдите $$\cos a$$, если:

   1. а) $$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   2. б) $$\sin a=\frac{1}{4}$$;
   3. в) $$\sin a=0$$.

Пусть $$\vec a=(x_1,y_1)$$ и $$\vec b=(x_2,y_2)$$.

Если векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, то по свойству коллинеарных векторов существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a=k\vec b.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Следовательно, координаты одного вектора пропорциональны координатам другого:

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$$

(если соответствующие знаменатели не равны нулю).

Обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.

Действительно, пусть

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

то есть

$$\vec a=k\vec b.$$

По определению коллинеарных векторов, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Ответ

Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. И обратно: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.