Упр.1013 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вектора v, если: a) v = За — 3b, а {2; -5}, b {-5; 2}; б) v = 2a-3b + 4с, а {4; 1}, b {1; 2}, с (2; 7); в) v = 3a-2b-1/2c, а {-7; -1}, b{-1; 7}, с {4; -6}; г) v = a-b — с, а {7; -2}, b {2; 5}, с {-3; 3}. Найдите sin а, если: a) cosa=1/2; б) cosa=-2/3; в) cosa=-1.

Используем правило умножения вектора на число и сложения векторов по координатам.

а) $$\vec v=3\vec a-3\vec b$$

$$\vec a=\{2;-5\},\quad \vec b=\{-5;2\}$$

$$ \vec v=3\{2;-5\}-3\{-5;2\}=\{6;-15\}+\{15;-6\}=\{21;-21\} $$

б) $$\vec v=2\vec a-3\vec b+4\vec c$$

$$\vec a=\{4;1\},\quad \vec b=\{1;2\},\quad \vec c=\{2;7\}$$

$$ \vec v=2\{4;1\}-3\{1;2\}+4\{2;7\}=\{8;2\}+\{-3;-6\}+\{8;28\}=\{13;24\} $$

в) $$\vec v=3\vec a-2\vec b-\frac12\vec c$$

$$\vec a=\{-7;-1\},\quad \vec b=\{-1;7\},\quad \vec c=\{4;-6\}$$

$$ \vec v=3\{-7;-1\}-2\{-1;7\}-\frac12\{4;-6\} $$
$$ =\{-21;-3\}+\{2;-14\}+\{-2;3\}=\{-21;-14\} $$

г) $$\vec v=\vec a-\vec b-\vec c$$

$$\vec a=\{7;-2\},\quad \vec b=\{2;5\},\quad \vec c=\{-3;3\}$$

$$ \vec v=\{7;-2\}-\{2;5\}-\{-3;3\}=\{5;-7\}-\{-3;3\}=\{8;-10\} $$

Для нахождения $$\sin\alpha$$ используем тождество

$$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$

а) $$\cos\alpha=\frac12$$

$$ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac14=\frac34 $$
$$ \sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2} $$

б) $$\cos\alpha=-\frac23$$

$$ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac49=\frac59 $$
$$ \sin\alpha=\pm\frac{\sqrt5}{3} $$

в) $$\cos\alpha=-1$$

$$ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-1=0 $$
$$ \sin\alpha=0 $$

Ответ

$$ \vec v_a=\{21;-21\},\quad \vec v_b=\{13;24\},\quad \vec v_c=\{-21;-14\},\quad \vec v_g=\{8;-10\} $$
$$ \sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2},\quad \pm\frac{\sqrt5}{3},\quad 0 $$