Упр.1012 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны векторы $$\vec a=(2;4),\ \vec b=(-2;0),\ \vec c=(0;0),\ \vec d=(-2;-3),\ \vec e=(2;-3),\ \vec f=(0;5)$$. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
- Проверьте, что точки $$M_1(0;1),\ M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2}\right),\ B(-1;0)$$ лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов $$\angle AOM_1,\ \angle AOM_2,\ \angle AOM_3,\ \angle AOM_4,\ \angle AOB$$.
Проверим, лежат ли данные точки на единичной окружности с центром в начале координат. Для этого достаточно убедиться, что для каждой точки выполняется равенство $$x^2+y^2=1.$$
$$M_1(0;1):\quad 0^2+1^2=1;$$
$$M_2\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right):\quad \left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1;$$
$$M_3\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right):\quad \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1;$$
$$M_4\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right):\quad \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1;$$
$$A(1;0):\quad 1^2+0^2=1;$$
$$B(-1;0):\quad (-1)^2+0^2=1.$$
Значит, все указанные точки лежат на единичной окружности.
Теперь найдём значения тригонометрических функций углов $$\angle AOM_1,$$ $$\angle AOM_2,$$ $$\angle AOM_3,$$ $$\angle AOM_4,$$ $$\angle AOB.$$
$$\sin\angle AOM_1=1,\quad \cos\angle AOM_1=0,\quad \tg\angle AOM_1 \text{ не существует};$$
$$\sin\angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\angle AOM_2=\frac12,\quad \tg\angle AOM_2=\sqrt3;$$
$$\sin\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tg\angle AOM_3=1;$$
$$\sin\angle AOM_4=\frac12,\quad \cos\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \tg\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3};$$
$$\sin\angle AOB=0,\quad \cos\angle AOB=-1,\quad \tg\angle AOB=0.$$
