Упр.1009 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты вектора $$\vec a+\vec b$$, если:
а) $$\vec a=(3;2),\ \vec b=(2;5)$$;
б) $$\vec a=(3;-4),\ \vec b=(1;5)$$;
в) $$\vec a=(-4;-2),\ \vec b=(5;3)$$;
г) $$\vec a=(2;7),\ \vec b=(-3;-7)$$. - Докажите, что медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ можно вычислить по формуле $$AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Обозначим через $$A_1$$ середину стороны $$BC$$. Тогда $$AA_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$.
Продлим медиану $$AA_1$$ за точку $$A_1$$ до точки $$A_2$$ так, чтобы $$A_1A_2=AA_1$$. Тогда точка $$A_1$$ является серединой и отрезка $$AA_2$$.
Рассмотрим четырёхугольник $$CABA_2$$. В нём диагонали $$CA_2$$ и $$AB$$ пересекаются и делятся точкой $$A_1$$ пополам, значит, $$CABA_2$$ — параллелограмм.
По свойству параллелограмма:
$$CA_2^2=CB^2+BA_2^2$$
Но $$BA_2=AC$$, а $$CA_2=2AA_1$$. Поэтому
$$(2AA_1)^2=BC^2+AC^2$$
Учитывая, что в параллелограмме также
$$CA_2^2=2AC^2+2AB^2-BC^2,$$
получаем
$$(2AA_1)^2=2AC^2+2AB^2-BC^2.$$
Следовательно,
$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}.$$
Это и требовалось доказать.
Теперь докажем второе утверждение. Пусть в треугольнике $$ABC$$ две медианы равны, например $$AA_1=BB_1$$.
По доказанной формуле:
$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2},$$
$$BB_1=\frac12\sqrt{2BC^2+2AB^2-AC^2}.$$
Так как $$AA_1=BB_1$$, то
$$2AC^2+2AB^2-BC^2=2BC^2+2AB^2-AC^2.$$
Сокращая одинаковые слагаемые, получаем
$$3AC^2=3BC^2,$$
откуда
$$AC=BC.$$
Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
Ответ
$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$, и если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
